第四章 战车登天技法(7)

院子里升起了一团篝火。那修女捧着一本书,坐在门外的一块石头上,给围绕着她的孩子们讲故事。

艾拉在二楼默默地注视着他们,直到修女觉得天色太晚了让孩子们回房间休息,这期间孩子们的每一个动作,都透着对那位修女的喜爱。

如果这里不是亚伯拉罕正教会的教堂,而是七丘帝国的神庙,那些祭司们会收留赶路的人么?会收养被遗弃的儿童么?会让这些孩子们如此喜爱么?

——这种东西,应该还是看个人的吧?

艾拉甩了甩头,把刚刚出现在脑中的那种荒谬想法给甩了出去,然后掏出一叠纸来摆在桌子上。那上面是一些还没解决的几何问题。

其中一个是一条抛物线,一条线斜着切过它,与抛物线一同围成了一个弓形。戈特弗里德给艾拉的任务是计算这个弓形的面积。

艾拉想了想,以弓形的直边为底边,又在抛物线上选了一个点,一同连成了一个大三角形。然后以大三角形的另外两条边为底边,各自又选了抛物线上的一个点连成了两个小三角形。

艾拉凝视着这三个三角形。按戈特弗里德计算圆面积的方法,这些三角形如果不断绘制下去,它们的面积之和会越来越接近这个弓形的面积吧。

但是,这样绘制的三角形根据选点的不同,会有各种各样的大小,且无规律。如果要计算面积和,必须要制定一个统一的绘制规则。

艾拉叹了口气,把这张纸给撕了,重新画了一张。这一次,她把那根直线平行移动,直到切抛物线于一点。艾拉以这个点为顶点绘制了第一个大三角形。然后她用了同样的方法,绘制了下一级的两个三角形。

这样一来,问题立刻就变得清晰了。经过一段几何证明之后,艾拉发现这两个小三角形的面积和是大三角形的四分之一。且每一级的两个小三角形,面积之和都是前一级大三角形的四分之一。

艾拉暂定第一个大三角形的面积为a,这个弓型的面积为s,那么,弓型的面积就是这样的:

s=a+a/4+a/16+a/64+…

这是一个无限扩张下去的算式,看起来绝对得不出结果。

——又是无限。

艾拉抛下笔,长长地叹了口气。能运算无限的,估计也只有数学之神了吧。

然而那个面积为一的正方形边长却在一旁警示着艾拉:不能就这样放弃。

用戈特弗里德的话来说,既然是一条有限的线段,那就不可能是无限的。同样的,这个弓型显然也是一个有限的面积,从几何上来看,它就在那里,与其他的图形相必并没有什么特别之处。

艾拉拍了拍脑袋,再次凝视着那个有限的图形,以及列在下方的那个无限扩展的算式。

突然间,她灵机一动,拿起笔将等式的两边同时乘了一个4。根据等式的法则,等式此时仍然成立。而这次,等式变成了下面的样子:

4s=4a+a+a/4+a/16+a/64+…